とにかく人手が足りず、明日からでも働いてくれる人を探していたところ、すぐに働いてくれるという外国人が見つかったとして、急いでいるので、在留資格の有無を確認できる前に、とりあえず雇ってしまってもよいのでしょうか?

在留資格を確認せずに、外国人を雇うことはできません。

雇った外国人に適法な在留資格がなかった場合、不法就労助長罪(入管法73条の2)に問われる可能性があります。

外国人を雇う前には、必ず在留資格を確認してから、雇いましょう。